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几何法证明平行问题
一．自主归纳，自我查验
1.自主归纳 ①.直线 a 和平面 α 的位置关系有________、________、____________，其中________与________统称直线在平面外. ②.直线和平面平行的判定 (1)定义：___________________________________________________________；
(2)判定定理：
a ⊄ α ， b ⊂ α ，且 a ∥ b ⇒________；
(3)其他判定方法：
α ∥ β ， a ⊂ α ⇒________. ③.直线和平面平行的性质定理：
a ∥ α ， a ⊂ β ， α ∩ β ＝ l ⇒____________. ④.两个平面的位置关系有______________. ⑤.两个平面平行的判定 (1)定义：______________________________________________________________；
(2)判定定理：
a ⊂ α ， b ⊂ α ， a ∩ b ＝ M ， a ∥ β ， b ∥ β ⇒________；
(3)推论：
a ∩ b ＝ M ， a ， b ⊂ α ， a ′∩ b ′＝ M ′， a ′， b ′⊂ β ， a ∥ a ′， b ∥ b ′⇒________. ⑥.两个平面平行的性质定理 (1) α ∥ β ， a ⊂ α ⇒________；
(2) α ∥ β ， γ ∩ α ＝ a ， γ ∩ β ＝ b ⇒________. ⑦.与垂直相关的平行的判定 (1) a ⊥ α ， b ⊥ α ⇒________；
(2) a ⊥ α ， a ⊥ β ⇒________. 2.自我查验 1.已知不重合的直线 a ， b 和平面 α ， ①若 a ∥ α ， b ⊂ α ，则 a ∥ b ；
②若 a ∥ α ， b ∥ α ，则 a ∥ b ；
③若 a ∥ b ， b ⊂ α ，则 a ∥ α ；
④若 a ∥ b ， a ∥ α ，则 b ∥ α 或 b ⊂ α . 上面命题中正确的是________(填序号). 2.给出下列五个命题：
①若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行；
②若一条直线与一个平面内的两条直线平行，则这条直线与这个平面平行；
③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；
④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行；
⑤若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的无数多条直线平行. 其中正确命题的序号是__________. 3.已知平面 α ∥平面 β ，直线 a ⊂ α ，有下列说法：
① a 与 β 内的所有直线平行；
② a 与 β 内无数条直线平行；
③ a 与 β 内的任意一条直线都不垂直.其中真命题的序号是________. 4.直线 a 不平行于平面 α ，则下列结论成立的是
(
) A. α 内的所有直线都与 a 异面 B. α 内不存在与 a 平行的直线 C. α 内的直线都与 a 相交 D.直线 a 与平面 α 有公共点 5.一条直线 l 上有相异三个点 A 、 B 、 C 到平面 α 的距离相等，那么直线 l 与平面 α 的位置关系是
(
)
A. l ∥ α
B. l ⊥ α
C. l 与 α 相交但不垂直
D. l ∥ α 或 l ⊂ α 二．典型例题
题型一 直线与平面平行的判定与性质 例 1 (2015·成都第三次诊断) 如图，在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 N 在 BD 上，点 M 在B 1 C 上，且 CM ＝ DN .求证：
MN ∥平面 AA 1 B 1 B .
破题思路 判断或证明线面平行的常用方法有：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；
(2)利用线面平行的判定定理( a ⊄ α ， b ⊂ α ， a ∥ b ⇒ a ∥ α )；
(3)利用面面平行的性质定理( α ∥ β ，a ⊂ α ⇒ a ∥ β )；
(4)利用面面平行的性质( α ∥ β ， a ⊄ β ， a ∥ α ⇒ a ∥ β ). 【解题过程】证明 如图，作 MP ∥ BB 1 交 BC 于点 P ，连接 NP ， ∵ MP ∥ BB 1 ，∴CMMB 1 ＝CPPB
. ∵ BD ＝ B 1 C ， DN ＝ CM ，
∴ B 1 M ＝ BN ，∴CMMB 1 ＝DNNB ，∴CPPB ＝DNNB ， ∴ NP ∥ CD ∥ AB . ∵ NP 平面 AA 1 B 1 B ， AB ⊂平面 AA 1 B 1 B ， ∴ NP ∥平面 AA 1 B 1 B .
∵ MP ∥ BB 1 ， MP ⊄平面 AA 1 B 1 B ， BB 1 ⊂平面 AA 1 B 1 B ， ∴ MP ∥平面 AA 1 B 1 B .
又∵ MP ⊂平面 MNP ， NP ⊂平面 MNP ，
MP ∩ NP ＝ P ， ∴平面 MNP ∥平面 AA 1 B 1 B .
∵ MN ⊂平面 MNP ， ∴ MN ∥平面 AA 1 B 1 B .
（改编题）
如图，四边形 ABCD 是平行四边形， 点 P 是平面 ABCD 外一点， M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G ，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH . 求证：
AP ∥ GH . 证明 如图，连接 AC 交 BD 于点 O ， 连接 MO ，∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ O 是 AC 中点， 又 M 是 PC 的中点， ∴ AP ∥ OM . 则有 PA ∥平面 BMD .(根据直线和平面平行的判定定理) ∵平面 PAHG ∩平面 BMD ＝ GH ， ∴ PA ∥ GH .(根据直线和平面平行的性质定理) 题型二 平面与平面平行的判定与性质 例 2 （改编题）
如图所示，已知 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 是棱长为 3 的正方体，点 E 在 AA 1 上， 点 F 在 CC 1 上， G 在 BB 1 上，且 AE ＝ FC 1 ＝ B 1 G ＝1， H 是 B 1 C 1 的中点. (1)求证：
E 、 B 、 F 、 D 1 四点共面；
(2)求证：平面 A 1 GH ∥平面 BED 1 F . 破题思路 证明面面平行的方法有：
(1)面面平行的定义；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化. 【解题过程】证明 (1)连接 FG . ∵ AE ＝ B 1 G ＝1， ∴ BG ＝ A 1 E ＝2， ∴ BG 平行且等于 A 1 E ， ∴ A 1 G ∥ BE . 又∵ C 1 F 平行且等于 B 1 G ， ∴四边形 C 1 FGB 1 是平行四边形， ∴ FG 平行且等于 C 1 B 1 平行且等于 D 1 A 1 ， ∴四边形 A 1 GFD 1 是平行四边形. ∴ A 1 G 平行且等于 D 1 F ，∴ D 1 F 平行且等于 EB ，故 E 、 B 、 F 、 D 1 四点共面. (2)取 BG 的中点 K ，连接 C 1 K . ∵ H 为 B 1 C 1 的中点，∴ HG ∥ C 1 K . 又∵ C 1 F 綊 BK .∴四边形 BFC 1 K 是平行四边形，∴ C 1 K ∥ BF ，∴ HG ∥ BF . 由 A 1 G ∥ BE ， A 1 G ∩ HG ＝ G ， BF ∩ BE ＝ B . ∴平面 A 1 GH ∥平面 BED 1 F .
如图，在三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中， E ， F ， G ， H 分别是 AB ， AC ， A 1 B 1 ， A 1 C 1 的中 点，求证：
(1) B ， C ， H ， G 四点共面；
(2)平面 EFA 1 ∥平面 BCHG . 证明 (1)∵ GH 是△ A 1 B 1 C 1 的中位线，∴ GH ∥ B 1 C 1 . 又∵ B 1 C 1 ∥ BC ，∴ GH ∥ BC ， ∴ B ， C ， H ， G 四点共面. (2)∵ E 、 F 分别为 AB 、 AC 的中点， ∴ EF ∥ BC ， ∵ EF ⊄平面 BCHG ， BC ⊂平面 BCHG ， ∴ EF ∥平面 BCHG . ∵ A 1 G 平行且等于 EB ，∴四边形 A 1 EBG 是平行四边形，∴ A 1 E ∥ GB . ∵ A 1 E ⊄平面 BCHG ， GB ⊂平面 BCHG .
∴ A 1 E ∥平面 BCHG . ∵ A 1 E ∩ EF ＝ E ， ∴平面 EFA 1 ∥平面 BCHG . 题型三 线面、面面平行的综合应用 【例 3】（改编题）如图所示，在三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中，平面 ABC ∥平面 A 1 B 1 C 1 .若 D 是棱 CC 1的中点，在棱 AB 上是否存在一点 E ，使 DE ∥平面 AB 1 C 1 ？并证明你的结论．
破题思路
对于探索类问题，书写步骤的格式有两种：
一种是：第一步，探求出点的位置. 第二步，证明符合要求. 第三步，给出明确答案. 第四步，反思回顾.查看关键点，易错点和答题规范. 另一种是：从结论出发，“要使什么成立”， “只需使什么成立”，寻求使结论成立的充分条件，类似于分析法. 【解题过程】解 当 E 为棱 AB 的中点时， DE ∥平面 AB 1 C 1 . 证明如下：如图所示，取 BB 1 的中点 F ，
连接 EF ， FD ， DE . ∵ D ， E ， F 分别为 CC 1 ， AB ， BB 1 的中点， ∴ EF ∥ AB 1 . ∵ AB 1 ⊂平面 AB 1 C 1 ， EF ⊄平面 AB 1 C 1 ， ∴ EF ∥平面 AB 1 C 1 . 同理可证 FD ∥平面 AB 1 C 1 . ∵ EF ∩ FD ＝ F ，∴平面 EFD ∥平面 AB 1 C 1 . ∵ DE ⊂平面 EFD ，∴ DE ∥平面 AB 1 C 1 .
如图，在正方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中， O 为底面 ABCD 的中心， P 是 DD 1 的中点，设 Q 是 CC 1 上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面 D 1 BQ ∥平面 PAO? 解 当 Q 为 CC 1 的中点时，平面 D 1 BQ ∥平面 PAO .证明如下：
∵ Q 为 CC 1 的中点， P 为 DD 1 的中点， ∴ QB ∥ PA . ∵ P 、 O 分别为 DD 1 、 DB 的中点， ∴ D 1 B ∥ PO . 又∵ D 1 B ⊄平面 PAO ， PO ⊂平面 PAO ， QB ⊄平面 PAO ， PA ⊂平面 PAO ， ∴ D 1 B ∥平面 PAO ， QB ∥平面 PAO ， 又 D 1 B ∩ QB ＝ B ， D 1 B 、 QB ⊂平面 D 1 BQ ， ∴平面 D 1 BQ ∥平面 PAO . 错解分析
例题：如图所示，在正方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 是棱 DD 1 的中点 问：在棱 C 1 D 1 上是否存在一点 F ，使 B 1 F ∥平面 A 1 BE ？证明你的结论. 【错解】因为在无点使 B 1 F 与之平行，所以不存在点 F 满足条件 错解归因
未找出相对应的点，未找到切入口 规范解答 解 在棱 C 1 D 1 上存在点 F ，使 B 1 F ∥平面 A 1 BE . 事实上，如图所示，分别取 C 1 D 1 和 CD 的 中点 F ， G ，连接 B 1 F ， EG ， BG ， CD 1 ， FG . 因 A 1 D 1 ∥ B 1 C 1 ∥ BC ，且 A 1 D 1 ＝ BC ，所以四边形 A 1 BCD 1 是平行四边形，因此 D 1 C ∥ A 1 B .
又 E ， G 分别为 D 1 D ， CD 的中点，
所以 EG ∥ D 1 C ，从而 EG ∥ A 1 B . 这说明 A 1 ， B ， G ， E 共面.所以 BG ⊂平面 A 1 BE .
因 四 边 形 C 1 CDD 1 与B 1 BCC 1 皆为正方形， F ， G 分别为 C 1 D 1 和 CD 的中点，所以 FG ∥ C 1 C ∥ B 1 B ，且 FG ＝ C 1 C ＝ B 1 B ，因此四边形 B 1 BGF 是平行四边形，所以 B 1 F ∥ BG ， B 1 F ⊄平面 A 1 BE ， BG ⊂平面 A 1 BE ， 故 B 1 F ∥平面 A 1 BE . 成功破障(2015·盐城模拟) 如图所示，斜三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中，点 D ， D 1 分别为 AC ， A 1 C 1 上
的点． (1)当 A1 D 1D 1 C 1 等于何值时， BC1 ∥平面 AB 1 D 1?
(2)若平面 BC 1 D ∥平面 AB 1 D 1 ，求 ADDC 的值．
解 (1)连接 A 1 B ， A 1 B ∩ AB 1 ＝ E ， 连接 D 1 E ，若 BC 1 ∥面 AB 1 D 1 ， 则 BC 1 ∥ D 1 E ，∵ AE ＝ B 1 E ， ∴ A 1 D 1 ＝ D 1 C 1 ，故 A1 D 1D 1 C 1 ＝1. (2)∵面 BC 1 D ∥面 AB 1 D 1 ，面 A 1 BC 1 ∩面 AB 1 D 1 ＝ D 1 E ， ∴ BC 1 ∥ ED 1 ， 又∵ A 1 E ＝ EB ，∴ A 1 D 1 ＝ D 1 C 1 ， ∵面 BC 1 D ∥面 AB 1 D 1 ， AD 1 C ⊂面 ACC 1 A 1 ， DC 1 ⊂面 ACC 1 A ， ∴ AD 1 ∥ DC 1 ，∴ AD ＝ D 1 C 1 ，故 AD ＝ DC ，因此 ADDC ＝1 高分跨越 （贵州兴义八中 2016 模拟）
方法与规律 1.平行问题的转化关系
2.直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；
(2)判定定理；
(3)面与面平行的性质. 3.平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；
(2)判定定理；
(3)推论；
(4) a ⊥ α ， a ⊥ β ⇒ α ∥ β . 应用体验 1.(2015·德州一中上学期 1 月月考)已知 m ， n 为不同的直线， α ， β 为不同的平面，则下列说法正确的是(
) A． m ⊂ α ， n ∥ m ⇒ n ∥ α
B． m ⊂ α ， n ⊥ m ⇒ n ⊥ α
C． m ⊂ α ， n ⊂ β ， n ∥ m ⇒ α ∥ β
D． n ⊂ β ， n ⊥ α ⇒ α ⊥ β
2．(2015·江门模拟)如图，四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别是 AB 1 ， BC 1 的中点．下列结论中，正确的是(
) A． EF ⊥ BB 1 B． EF ∥平面 ACC 1 A 1
C． EF ⊥ BD D． EF ⊥平面 BCC 1 B 1
3. (2015·宁波期末调研)在空间中，设 m ， n 是不同的直线， α ， β 是不同的平面，且 m ⊂ α ，n ⊂ β ，则下列命题正确的是(
) A．若 m ∥ n ，则 α ∥ β
B．若 m ， n 异面，则 α ， β 平行 C．若 m ， n 相交，则 α ， β 相交
D．若 m ⊥ n ，则 α ⊥ β
4.
已知棱长为 1 的正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F ， M 分别是 AB 、 AD 、 AA 1 的中点，又 P 、 Q 分别在线段 A 1 B 1 、 A 1 D 1 上，且 A 1 P ＝ A 1 Q ＝ x (0< x <1)．设平面 MEF ∩平面 MPQ ＝ l ，现有下列结论：
① l ∥平面 ABCD ；
② l ⊥ AC ；
③直线 l 与平面 BCC 1 B 1 不垂直；
④当 x 变化时， l 不是定直线． 其中不成立的结论是________．(写出所有不成立结论的序号) 5．（全国卷Ⅲ文 2016）
如图，四棱锥 中， 平面 ， ，， ， 为线段 上一点， ， 为 的中点． （I）证明平面 MN∥ ；
[来源:学科网] （II）求四面体 的体积.
P ABC PA ABCD AD BC3 AB AD AC 4 PA BC M AD 2 AM MD N PCPABN BCM
复习与巩固 A 组
一、选择题 1.已知直线 a ， b ， c 及平面 α ， β ，下列条件中，能使 a ∥ b 成立的是
(
)
A. a ∥ α ， b ⊂ α
B. a ∥ α ， b ∥ α
C. a ∥ c ， b ∥ c
D. a ∥ α ， α ∩ β ＝ b
2.平面 α ∥平面 β ，点 A ， C ∈ α ， B ， D ∈ β ，则直线 AC ∥直线 BD 的充要条件是(
) A. AB ∥ CD
B. AD ∥ CB
C. AB 与 CD 相交
D. A ， B ， C ， D 四点共面 3.设 m ， n 为两条直线， α ， β 为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是
(
) A.若 m ⊂ α ， n ⊂ α ，且 m ∥ β ， n ∥ β ，则 α ∥ β
B.若 m ∥ α ， m ∥ n ，则 n ∥ α
C.若 m ∥ α ， n ∥ α ，则 m ∥ n
D.若 m ， n 为两条异面直线，且 m ∥ α ， n ∥ α ， m ∥ β ， n ∥ β ，则 α ∥ β
二、填空题 4.下列命题中正确的命题是________.(填序号) ①直线 l 上有两点到平面 α 距离相等，则 l ∥ α ；
②平面 α 内不在同一直线上三点到平面 β 的距离相等，则 α ∥ β ；
③垂直于同一直线的两个平面平行；
④平行于同一直线的两平面平行；
⑤若 a 、 b 为异面直线， a ⊂ α ， b ∥ α ， b ⊂ β ， a ∥ β ，则 α ∥ β . 5.已知平面 α ∥平面 β ， P 是 α 、 β 外一点，过点 P 的直线 m 与 α 、 β 分别交于 A 、 C ，过点 P 的直线 n 与 α 、 β 分别交于 B 、 D 且 PA ＝6， AC ＝9， PD ＝8，则 BD 的长为________. 6.已知四个命题：
①若直线 l ∥平面 α ，则直线 l 的垂线必平行于平面 α ；
②若直线 l 与平面 α 相交，则有且只有一个平面经过 l 与平面 α 垂直；
③若一个三棱锥每两个相邻侧面所成的角都相等，则这个三棱锥是正三棱锥；
④若四棱柱的任意两条对角线相交且互相平分，则这个四棱柱为平行六面体. 其中正确的命题是________.(填序号) 三、解答题 7.如图，在四面体 S — ABC 中， E 、 F 、 O 分 别为 SA 、 SB 、 AC 的中点， G 为 OC 的中点， 证明：
FG ∥平面 BEO .
8.如图所示，四棱锥 P — ABCD 的底面是边长 为 a 的正方形，侧棱 PA ⊥底面 ABCD ，侧面 PBC 内有 BE ⊥ PC 于 E ，且 BE ＝63a ，试在 AB 上找一点 F ，使 EF ∥平面 PAD .
B 组
一、选择题 1.设 m ， n 是平面 α 内的两条不同直线；
l 1 ， l 2 是平面 β 内的两条相交直线，则 α ∥ β 的一个充分而不必要条件是
(
) A. m ∥ β 且 l 1 ∥ α
B. m ∥ l 1 且 n ∥ l 2
C. m ∥ β 且 n ∥ β
D. m ∥ β 且 n ∥ l 2
2.给出下列关于互不相同的直线 l 、 m 、 n 和平面 α 、 β 、 γ 的三个命题：
①若 l 与 m 为异面直线， l ⊂ α ， m ⊂ β ，则 α ∥ β ；
②若 α ∥ β ， l ⊂ α ， m ⊂ β ，则 l ∥ m ；
③若 α ∩ β ＝ l ， β ∩ γ ＝ m ， γ ∩ α ＝ n ， l ∥ γ ，则 m ∥ n . 其中真命题的个数为
(
) A.3
B.2
C.1
D.0 3.下面四个正方体图形中， A ， B 为正方体的两个顶点， M ， N ， P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB ∥平面 MNP 的图形是
(
)
A.①②
B.①④
C.②③
D.③④ 二、填空题 4.如图所示， ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 是棱长 为 a 的正方体， M 、 N 分别是下底面 的棱 A 1 B 1 、 B 1 C 1 的中点， P 是上底面 的棱 AD 上的一点， AP ＝ a3 ，过P 、 M 、 N 的平面交上底面于 PQ ， Q 在 CD 上， 则 PQ ＝________. 5.如图所示，在正四棱柱 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 、 F 、 G 、 H 分别是棱 CC 1 、 C 1 D 1 、 D 1 D 、 DC 的中点， N 是 BC 的中点，点 M 在四边 形 EFGH 及其内部运动，则 M 满足条件___ ___________时，有 MN ∥平面 B 1 BDD 1 . 6.若 m 、 n 为两条不重合的直线， α 、 β 为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________. ①若 m 、 n 都平行于平面 α ，则 m 、 n 一定不是相交直线；
②若 m 、 n 都垂直于平面 α ，则 m 、 n 一定是平行直线；
③已知 α 、 β 互相平行， m 、 n 互相平行，若 m ∥ α ，则 n ∥ β ；
④若 m 、 n 在平面 α 内的射影互相平行，则 m 、 n 互相平行. 7.对于平面 M 与平面 N ，有下列条件：① M 、 N 都垂直于平面 Q ；
② M 、 N 都平行于平面 Q ；
③ M内不共线的三点到 N 的距离相等；
④ l 为一条直线，且 l ∥ M ， l ∥ N ；
⑤ l ， m 是异面直线，且 l ∥ M ， m ∥ M ；
l ∥ N ， m ∥ N ，则可判定平面 M 与平面 N 平行的条件是________(填正确结论的序号). 三、解答题 8.如图，已知平行四边形 ABCD 中， BC ＝6， 正方形 ADEF 所在平面与平面 ABCD 垂直， G ， H 分别是 DF ， BE 的中点. (1)求证：
GH ∥平面 CDE ；
(2)若 CD ＝2， DB ＝4 2，求四棱锥 F — ABCD 的体积.
C 组
1. (2015·四川成都高三摸底)已知 a ， b 是两条不同直线， α 是一个平面，则下列说法正确的是(
) A．若 a ∥ b ， b ⊂ α ，则 a ∥ α
B．若 a ∥ α ， b ⊂ α ，则 a ∥ b
C．若 a ⊥ α ， b ⊥ α ，则 a ∥ b
D．若 a ⊥ b ， b ⊥ α ，则 a ∥ α
2．(2016·浙江温州十校期末联考)已知 α ， β 是两个不同的平面， m ， n 是两条不同的直线，则下列命题不正确的是(
) A．若 m ∥ n ， m ⊥ α ，则 n ⊥ α
B．若 m ∥ α ， α ∩ β ＝ n ，则 m ∥ n
C．若 m ⊥ β ， m ⊥ α ，则 α ∥ β
D．若 m ⊥ α ， m ⊂ β ，则 α ⊥ β
3．(2016·河北衡水模拟)已知三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 的侧棱与底面垂直，体积为 94 ，底面是边长为 3的正三角形．若 P
为底面 A 1 B 1 C 1 的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为(
) A. 5π12
B. π3
C. π4
D. π6 4．(2016·安徽黄山模拟) 如图所示，在正方体 ABCD － A ′ B ′ C ′ D ′中，棱 AB ， BB ′，B ′ C ′， C ′ D ′的中点分别是 E ， F ， G ， H . (1)求证：
AD ′∥平面 EFG ；
(2)求证：
A ′ C ⊥平面 EFG ：
(3)判断点 A ， D ′， H ， F 是否共面？并说明理由．
5．(2015·湖北八市模拟)
如图， ABC － A 1 B 1 C 1 是底面边长为 2，高为32的正三棱柱，经过 AB 的截面与上底面相交
于 PQ ，设 C 1 P ＝ λC 1 A 1 (0< λ <1)． (1)证明：
PQ ∥ A 1 B 1 ；
(2)是否存在 λ ，使得平面 CPQ ⊥截面 APQB ？如果存在，求出 λ 的值；
如果不存在，请说明理由．