2023年度空间向量及其运算—精品文档

时间:2024-08-16 14:52:01 来源:网友投稿

下面是小编为大家整理的2022年度空间向量及其运算—精品文档(2022年),供大家参考。

2022年度空间向量及其运算—精品文档(2022年)

 空间向量及其运算 欢乐一笑:3.知道吗?我真的好想带你出去体验一下 KTV 的魅力啊!知道什么是KTV 吗?就是 K 你一顿,T 你一脚,最后我再做个 V 的手势耶!

 一、自主归纳,自我查验 1、自主归纳 ○1 .空间向量的有关概念 (1)空间向量:在空间中,具有________和________的量叫做空间向量. (2)相等向量:方向________且模________的向量. (3)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相______________的向量. (4)共面向量:________________________________的向量. ○2 共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理:

 对空间任意两个向量 a , b ( b ≠0), a∥b 的充要条件是__________.

 推论:如图所示,点 P 在 l 上的充要条件是:

 OP→ = OA → + ta ①

 其中 a 叫直线 l 的方向向量, t ∈R,在 l 上取 AB→ = a ,

 则①可化为 OP→ =________或 OP → =(1- t ) OA → + tOB → . (2)共面向量定理的向量表达式:

 p =____________,其中 x , y ∈R, a , b 为不共线向

 量,推论的表达式为 MP→ = xMA → + yMB → 或对空间任意一点O ,有 OP→ =____________

 或 OP→ = xOM → + yOA → + zOB → ,其中x + y + z =______.

  (3)空间向量基本定理:如果三个向量 a , b , c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存

 在有序实数组{ x , y , z },使得 p =____________,把{ a , b , c }叫做空间的一

 个基底. ○3 空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ○1 两向量的夹角:已知两个非零向量 a , b ,在空间任取一点 O ,作 OA→ = a , OB → = b ,则

 ∠ AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作____________,其范围是____________,若

 〈 a , b 〉= π2,则称 a 与 b __________,记作 a⊥b . ○2 两向量的数量积:已知空间两个非零向量 a , b ,则____________叫做向量 a , b 的

 数量积,记作__________,即__________________. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:( λa )² b =____________;

  ②交换律:

 a²b =__________;

  ③分配律:

 a² ( b + c )=__________. ○4 .空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算:设 a =( a 1 , a 2 , a 3 ), b =( b 1 , b 2 , b 3 ),则 a²b =________________. (2)共线与垂直的坐标表示:设 a =( a 1 , a 2 , a 3 ), b =( b 1 , b 2 , b 3 ), 则 a∥b ⇔______________⇔____________,____________,______________, a⊥b ⇔__________⇔________________________( a , b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式:设 a =( a 1 , a 2 , a 3 ), b =( b 1 , b 2 , b 3 ),则| a |= a²a =__ ______, cos〈 a , b 〉=a²b|a||b| =___________________.设A ( a 1 , b 1 , c 1 ), B ( a 2 , b 2 , c 2 ), 则 d AB =| AB→ |=__________. 填空答案:1.(1)大小 方向 (2)相同 相等 (3)平行或重合 (4)平行于同一个平面 2.(1)存在实数 λ ,使得 a = λb

 OA→ + tAB →

 (2) xa + yb

 OM→ + xMA → + yMB →

 1 (3) xa + yb + zc

 3.(1)①〈 a , b 〉 0≤〈 a , b 〉≤π 互相垂直 ②| a||b |cos〈 a , b 〉 a²b

 a²b =| a||b |cos〈 a , b 〉 (2)① λ ( a²b ) ② b²a

 ③ a²b + a²c

 4.(1) a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

 (2) a = λb

 a 1 = λb 1

 a 2 = λb 2

 a 3 = λb 3

 ( λ ∈R) a²b =0 a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 =0 (3) a21 + a22 + a23

 a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3a21 + a22 + a23 ² b21 + b22 + b23

 a 2 - a 12b 2 - b 12c 2 - c 12

 2、自我查验 ○1 .已知 a =(-3,2,5), b =(1,5,-1),则 a + b =____________.(答案:(-2,7,4))

  ○ 2 给出下列各式,判断正误:

  ① b a b a   ;

 (

 )

  ②     c b a c b a      ;

  (

 )

  ③   b m a m c b a m        ;

 (

 )

  ④ b m a m    ⇒ b a  ;

 (

 )

 ⑤若 3  b a ,则ba3

 (

  )

 (答案:错,错,错,错,错)

 3.在四面体 O — ABC 中, OA→ = a , OB → = b , OC → = c , D 为 BC 的中点, E 为 AD 的中点,则 OE→ =_____ _________(用 a , b , c 表示)(答案:. 12 a +14 b +14 c)

 4.若向量 a =(1,1, x ), b =(1,2,1), c =(1,1,1),满足条件 ( c - a )²(2 b )=-2,则 x =________.(答案:2)

 5.在下列条件中,使 M 与 A 、 B 、 C 一定共面的是__________.(填序号) ① OM→ =2 OA → - OB → - OC → ;
② OM → = 15 OA→ + 13 OB→ + 12 OC→ ;

③ MA→ + MB → + MC → =0;
④ OM → + OA → + OB → + OC → =0. (答案:○3 )

 二、典型例题 题型一 空间向量的线性运算 ○1 例题:如图所示,在平行六面体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中,设 AA 1→ = a , AB → = b , AD → = c ,

  M , N , P 分别是 AA 1 , BC , C 1 D 1 的中点,试用 a , b , c 表示以下各向量:

 (1) AP→ ;
(2) A1 N→ ;
(3) MP → + NC1→ .

  ○2 破题思路:用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的

 关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义. ○3 解题过程:解 (1)∵ P 是 C 1 D 1 的中点, ∴ AP→ = AA1→ + A1 D 1→+ D 1 P→ = a + AD → + 12 D1 C 1→= a + c + 12 AB→ = a + c + 12 b . (2)∵ N 是 BC 的中点,

  ∴ A 1 N→ = A1 A→ + AB → + BN → =- a + b + 12 BC→ =- a + b + 12 AD→ =- a + b + 12 c . (3)∵ M 是 AA 1 的中点, ∴ MP→ = MA → + AP → = 12 A1 A→ + AP → =- 12 a + a + c + 12 b= 12 a +12 b + c , 又 NC 1→ = NC → + CC1→ = 12 BC→ + AA1→ = 12 AD→ + AA1→ = 12 c + a , ∴ MP→ + NC1→ =12 a +12 b + c+  a + 12 c= 32 a +12 b +32 c . ○4 方法与规律:首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终

  点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三 角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立. 变式训练:

 在例 1 的条件下,若 AE→ = 12 EC→ , A1 F→ =2 FD → ,试用a , b , c 表示 EF→ . 答案:解 如图,连接 AF ,则 EF→ = EA → + AF → . 由已知 ABCD 是平行四边形, 故 AC→ = AB → + AD → = b + c , A 1 D→ = A1 A→ + AD → =- a + c . 由已知, A 1 F→ =2 FD → ,∴ AF → = AD → + DF →

 = AD→ - FD → = AD → - 13 A1 D→ = c - 13 ( c - a )=13 ( a +2 c ), 又 EA→ =- 13 AC→ =- 13 ( b + c ), ∴ EF→ = EA → + AF → =- 13 ( b + c )+13 ( a +2 c )=13 ( a - b + c ). 题型二 共线、共面向量定理的应用 ○1 例题:已知 E 、 F 、 G 、 H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点, (1)求证:

 E 、 F 、 G 、 H 四点共面;

(2)求证:

 BD ∥平面 EFGH ;

(3)设 M 是 EG 和 FH 的交点,求证:对空间任一点 O ,有 OM→ = 14 ( OA→ + OB → + OC → + OD → ). ○2 破题思路:在求一个向量由其他向量来表示的时候,通常是利用向量的三角形法则、

  平行四边形法则和共线向量的特点,把要求的向量逐步分解,向已知向量

  靠近,进行求解 ○3 解题过程:

 证明 (1)连接 BG ,则 EG→ = EB → + BG → = EB → + 12 ( BC→ + BD → )= EB → + BF → + EH → = EF → + EH → , 由共面向量定理的推论知:

 E 、 F 、 G 、 H 四点共面. (2)因为 EH→ = AH → - AE → = 12 AD→ - 12 AB→ = 12 ( AD→ - AB → )= 12 BD→ , 所以 EH ∥ BD . 又 EH ⊂平面 EFGH , BD ⊄平面 EFGH , 所以 BD ∥平面 EFGH . (3)找一点 O ,并连接 OM , OA , OB , OC , OD , OE , OG . 由(2)知 EH→ = 12 BD→ ,同理 FG → = 12 BD→ , 所以 EH→ = FG → ,即EH 綊 FG , 所以四边形 EFGH 是平行四边形. 所以 EG , FH 交于一点 M 且被 M 平分. 故 OM→ = 12 ( OE→ + OG → )= 12 OE→ + 12 OG→ = 12 12OA→ + OB →+ 12 12OC→ + OD → = 14 ( OA→ + OB → + OC → + OD → ). ○4 方法与规律:若要证明两直线平行,只需判定两直线所在的向量满足线性 a = λb 关系,即可判定两直线平行. 变式训练:

 已知 A 、 B 、 C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O ,若点 M 满足

  OM→ = 13 ( OA→ + OB → + OC → ). (1)判断 MA→ 、 MB → 、 MC → 三个向量是否共面;

(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内. 解 (1)由已知 OA→ + OB → + OC → =3 OM → , ∴ OA→ - OM → =( OM → - OB → )+( OM → - OC → ),即 MA → = BM → + CM → =- MB → - MC → , ∴ MA→ , MB → , MC → 共面. (2)由(1)知, MA→ , MB → , MC → 共面且基线过同一点M ,∴四点 M , A , B , C 共面,从而点 M在平面 ABC 内. 题型三 空间向量性质的应用

  ○1 例题:已知空间中三点 A (-2,0,2), B (-1,1,2), C (-3,0,4),设 a = AB→ , b = AC → , (1)若| c |=3,且 c ∥ BC→ ,求向量c ;

(2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值;

(3)若 ka + b 与 ka -2 b 互相垂直,求实数 k 的值;

(4)若 λ ( a + b )+ μ ( a - b )与 z 轴垂直,求 λ , μ 应满足的关系. ○2 破题思路:证明两条直线垂直,一般是用两条直线的方向向量的数量积等于 0 来加以证明的.

  ○ 3 解题过程:

 解 (1)∵ c ∥ BC→ , BC → =(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2),∴ c = mBC→ = m (-2,-1,2)=(-2 m ,- m, 2 m ), 所以| c |= -2 m2 +- m2 +m2 =3| m |=3, ∴ m =±1.∴ c =(-2,-1,2)或(2,1,-2). (2)∵ a =(1,1,0), b =(-1,0,2), ∴ a²b =(1,1,0)²(-1,0,2)=-1, 又| a |= 12 +1 2 +0 2 =2,| b |= -2 +0 2 +2 2 =5, ∴cos〈 a , b 〉=a²b|a||b | =-110 =-1010, 即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为-1010. (3)∵ ka + b =( k -1, k, 2), ka -2 b =( k +2, k ,-4),且 ka + b 与 ka -2 b 互相垂直,∴( k -1, k, 2)²( k +2, k ,-4)=( k -1)( k +2)+ k2 -8=0, ∴ k =2 或 k =- 52 ,∴当ka + b 与 ka -2 b 互相垂直时,实数 k 的值为 2 或- 52 . (4)∵ a + b =(0,1,2), a - b =(2,1,-2), ∴ λ ( a + b )+ μ ( a - b )=(2 μ , λ + μ ,2 λ -2 μ ), ∵ λ ( a + b )+ μ ( a - b )与 z 轴垂直, ∴(2 μ , λ + μ ,2 λ -2 μ )²(0,0,1)=2 λ -2 μ =0,即当 λ , μ 满足关系 λ -μ =0 时,可使 λ ( a + b )+ μ ( a - b )与 z 轴垂直. ○4 方法与规律:与平面向量计算类似

  变式训练:

 已知 a =( x, 4,1), b =(-2, y ,-1), c =(3,-2, z ), a ∥ b , b ⊥ c ,求:

 (1) a , b , c ;

(2)( a + c )与( b + c )夹角的余弦值.

  解 (1)因为 a∥b ,所以x-2 =4y =1-1 ,解得x =2, y =-4, 这时 a =(2,4,1), b =(-2,-4,-1). 又因为 b⊥c ,所以 b²c =0,即-6+8- z =0,解得 z =2,于是 c =(3,-2,2). (2)由(1)得 a + c =(5,2,3), b + c =(1,-6,1),设( a + c )与( b + c )夹角为 θ , 因此 cos θ =5-12+338² 38 =-219 .

  错例分析:

 “两向量平行”和“两向量同向”不清致误 ○1 例题:已知向量 a =(1,2,3), b =( x , x2 + y -2, y ),并且a 、 b 同向,则 x , y 的值分

  别

 ○2 错解:

 -2,-6 或 1,3 ○3 错解归因:

 (1) a 与 b 同向,则 a∥b ,利用向量平行的性质列方程求 x , y .(2) a与 b 平行,并不能保证同向,所以还要注意验证. ○4 正解:1,3 解析 由题意知 a ∥ b ,所以 x1 =x2 + y -22= y3 , 即  y =3 x ,x2 + y -2=2 x ,

  ①② 把①代入②得 x2 + x -2=0,( x +2)( x -1)=0, 解得 x =-2,或 x =1. 当 x =-2 时, y =-6;
当 x =1 时, y =3. 当  x =-2y =-6时, b =(-2,-4,-6)=-2 a ,两向量 a , b 反向,不符合题意,所以舍去. 当  x =1y =3时, b =(1,2,3)= a , a 与 b 同向,所以  x =1,y =3. 批阅笔记 (1) a 与 b 同向是 a∥b 的充分而不必要条件. a∥b 是 a 与 b 同向的必要而不充分条件. (2)错因分析:两向量平行和两向量同向不是等价的,同向是平行的一种情况.两向量同向能推出两向量平行,但反过来不成立,也就是说,“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件.错解就忽略了这一点.

  ○5 变式训练:已知向量 a =(1,2,3), b =( x , x2 + y -2, y ),并且a 、 b 反 向,则 x , y

  的值分别___-2,-6_. 高分跨越 ○1 题目:直三棱柱 ABC — A ′ B ′ C ′中, AC = BC = AA ′,∠ ACB =90°, D 、 E 分别为 AB 、 BB ′的中点. (1)求证:

 CE ⊥ A ′ D ;

(2)求异面直线 CE 与 AC ′所成角的余弦值. ○2 尝试解答:.(1)证明 设 CA→ = a , CB → = b , CC ′ →= c , 根据题意,| a |=| b |=| c |,且 a²b = b²c = c²a =0, ∴ CE→ = b + 12 c , A ′ D→=- c + 12 b -12 a . ∴ CE→ ² A ′ D →=- 12 c2 + 12 b2 =0. ∴ CE→ ⊥ A ′ D →,即 CE ⊥ A ′ D . (2)解 ∵ AC ′→=- a + c ,| AC ′→|= 2| a |, | CE→ |=52| a |. AC ′→² CE→ =(- a + c )²b + 12 c= 12 c2 = 12 | a |2 , ∴cos〈 AC ′→, CE→ 〉=12 | a |22²52| a |2=1010. 即异面直线 CE 与 AC ′所成角的余弦值为1010. ○3 方法与规律:利用向量解决线线垂直,异面直线的夹角 2、如图所示,直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 ,底面△ ABC 中, CA = CB =1,∠ BCA =90°,棱 AA 1 =2,M 、 N 分别是 A 1 B 1 、 A 1 A 的中点. (1)求 BN 的长;

(2)求异面直线 BA 1 与 CB 1 所成角的余弦值;

(3)求证:

 A 1 B ⊥ C 1 M . [自主解答] (1)| BN |2 =BN ² BN

 =( BA + AN )²( BA + AN )

 =| BA |2 +|AN |2 +2BA ² AN =2+1=3, ∴| BN |= 3. (2)∵1BA ²1CB =( BA +1AA )²( CB +1BB ) = BA ² CB + BA ²1BB +1AA ² CB +1AA ²1BB

 = 2²1²cos 135°+0+0+4=3, 又∵|1BA |2 =(BA +1AA )2

 =| BA |2 +2BA ²1AA +|1AA |2

 =2+0+4=6,∴|1BA |= 6. 又∵|1CB |2 =( CB+1BB )2

 =| CB |2 +2 CB²1BB +|1BB |2

 =1+0+4=5,∴|1CB |= 5. ∴cos〈1BA ,1CB 〉=1BA ²1CB| 1BA ||1CB |=36² 5 =3010, ∴异面直线 BA 1 与 CB 1 所成角的余弦值为3010. (3)证明:1AB ²1C M =(1AA + AB )²(1 1C A +1AM ) =1AA ²1 1C A +1AA ²1AM + AB ²1 1C A + AB ²1AM

 =0+0+1² 2²cos 135°+ 2²22²cos 0°=0. ∴1AB ⊥1C M ,∴ A 1 B ⊥ C 1 M .

 应用体验 1.在下列命题中:

 ①若向量 a , b 共线,则向量 a , b 所在的直线平行;

②若向量 a , b 所在的直线为异面直线,则向量 a , b 一定不共面;

③若三个向量 a , b , c 两两共面,则向量 a , b , c 共面;

④已知空间的三个向量 a , b , c ,则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x , y , z使得 p = xa + yb + zc . 其中正确命题的个数是

 ( A )

 A.0

 B.1

 C.2

 D.3

  2.已知 a =( λ +1,0,2), b =(6,2 μ -1,2 λ ),若 a ∥ b ,则 λ 与 μ 的值可以是

 ( A ) A.2, 12

 B.-13 ,12

 C.-3,2

  D.2,2 3.正方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 a ,点 M 在 AC 1 上且 AM→ = 12 MC1→ , N为 B 1 B 的中点,则| MN→|为

  ( A ) A.216a

  B.66a

 C.156a

  D.153a

 4.已知 a +3 b 与 7 a -5 b 垂直,且 a -4 b 与 7 a -2 b 垂直,则〈 a , b 〉=__60______. 5.已知△ ABC 的顶点 A (1,1,1), B (2,2,2), C (3,2,4),试求 (1)△ ABC 的重心坐标;

(2)△ ABC 的面积;

(3)△ ABC 的 AB 边上的高. 解 (1)设重心坐标为( x 0 , y 0 , z 0 ),则 x 0 = 1+2+33=2, y 0 = 1+2+23= 53 , z 0 = 1+2+43= 73 ,∴重心坐标为 2, 53 ,73. (2) AB→ =(1,1,1), AC → =(2,1,3),| AB → |= 3,| AC → |= 14, AB→ ² AC → =2+1+3=6, ∴cos A =cos〈 AB→ , AC → 〉=63² 14 =642 , ∴sin A = 1- 3642 =17 . ∴ S △ ABC = 12 | AB→ |²| AC → |²sin A

 = 12 ³3³ 14³17 =62. (3)设 AB 边上的高为 CD , 则 S △ ABC = 12 | AB→ |²| CD → |,∴| CD → |=6212 ³ 3= 2. 故△ ABC 的 AB 边上的高是 2.

 复习与巩固

 A 组

  一、选择题 1.如图所示,在平行六面体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中, M 为 A 1 C 1 与 B 1 D 1 的交点.若 AB→ = a ,AD→ = b ,AA 1→ = c ,则下列向量中与 BM → 相等的向量是

 ( A ) A.- 12 a +12 b + c

 B. 12 a +12 b + c

 C.- 12 a -12 b + c

 D. 12 a -12 b + c 2.已知 a =(-2,1,3), b =(-1,2,1),若 a ⊥( a - λb ),则实数 λ 的值为

  ( D ) A.-2

  B.- 143

  C. 145

 D.2 3.已知向量 a =(1,1,0), b =(-1,0,2),且 ka + b 与 2 a - b 互相垂直,则 k 的值为

 (

 ) A.1

 B. 15

  C.35

  D.75

 解析:选 D ka + b =( k -1, k, 2),2 a - b =(3,2,-2), 由题意知,3( k -1)+2 k -4=0,解得 k = 75 .

 4.(教材习题改编)已知 a =(-3,2,5), b =(1, λ ,-1).若 a ⊥ b ,则 λ =________. 解析:∵ a ⊥ b ,∴(-3)³1+2 λ +5³(-1)=0,∴ λ =4. 5.(教材习题改编)在空间四边形 ABCD 中, G 为 CD 的中点,则 AB + 12 (BD + BC )=____. 解析:依题意有 AB + 12 (BD + BC )= AB + 12 ³2BG = AB + BG = AG . 答案:

 AG

  6.已知 a =(1- t, 1- t , t ), b =(2, t , t ),则| b - a |的最小值为__. 3 55______. 7.若向量 a =(1, λ ,2), b =(2,-1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 89 ,则λ =___-2

  或255 _____. 8.已知非零向量 e 1 , e 2 不共线,如果 AB→ = e1 + e 2 , AC→ =2 e1 +8 e 2 , AD→ =3 e1 -3 e 2 ,求证:

 A 、B 、 C 、 D 共面. 证明 令 λ ( e 1 + e 2 )+ μ (2 e 1 +8 e 2 )+ v (3 e 1 -3 e 2 )=0. 则( λ +2 μ +3 v ) e 1 +( λ +8 μ -3 v ) e 2 =0. ∵ e 1 , e 2 不共线,∴  λ +2 μ +3 v =0λ +8 μ -3 v =0. 易知 λ =-5μ =1v =1是其中一组解,则-5 AB→ + AC → + AD → =0.∴ A 、 B 、 C 、 D共面. B 组 1.正方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 a ,点 M 在 AC 1 上且 AM→ = 12 MC1→ , N为 B 1 B 的中点,则| MN→|为

  ( A ) A.216a

 B.66a

 C.156a

 D.153a

 2.已知 a =(2,-1,3), b =(-1,4,-2), c =(7,5, λ ),若 a 、 b 、 c 三个向量共面,

  则实数 λ 等于(

 ) A. 627

 B. 637

  C. 647

 D. 657 解析:选 D 由于 a , b , c 三个向量共面,所以存在实数 m , n 使得 c = ma + nb ,即有 7=2 m - n ,5=- m +4 n ,λ =3 m -2 n ,解得 m = 337, n = 177, λ = 657. 3.如图,在底面为平行四边形的四棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中, M 是 AC 与 BD 的交点,若 AB= a ,1 1AD = b ,1AA = c ,则下列向量中与1BM 相等的向量是(

 ) A.- 12 a +12 b + c

 B. 12 a +12 b + c

 C. 12 a -12 b + c

 D.- 12 a -12 b + c

 解析:选 A 1BM =1BB + BM =1BB + 12BD =1BB + 12 (BA + BC )=1AA + 12 (-AB +1 1AD )= c - 12 a +12 b ,即1BM =- 12 a +12 b + c .

 4.(2013²武汉模拟)二面角 α - l - β 为 60°, A 、 B 是棱 l 上的两点, AC 、 BD 分别在半平面 α 、 β 内, AC ⊥ l , BD ⊥ l ,且 AB = AC = a , BD =2 a ,则 CD 的长为(

 ) A.2 a

 B. 5 a

 C. A

  D. 3 a

 解析:选 A ∵ AC ⊥ l , BD ⊥ l , ∴〈 AC , BD 〉=60°,且 AC ² BA =0, AB ² BD =0, ∴ CD = CA + AB + BD ,∴| CD |= CA + AB + BD2

 = a2 + a 2 +a2 +2 a ²2 a cos 120°=2 a . 5.如图所示, PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面, AB =2, E 为 PB 的中点,cos〈 DP→ , AE → 〉=33, 若以 DA , DC , DP 所在直线分别为 x , y , z 轴建 立空间直角坐标系,则点 E 的坐标为

 (A

 ) A.(1,1,1)

  B.  1,1, 12 C.  1,1, 32

 D.(1,1,2) 6.已知 a =(2,-1,2), b =(2,2,1),则以 a , b 为邻边的平行四边形的面积为___ 65_____. 7.已知 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 为正方体,①( A 1 A→ + A1 D 1→+ A 1 B 1→)2 =3 A1 B 1→ 2 ;
② A1 C→ ²( A1 B 1→- A 1 A→ )=0;
③向量 AD 1→ 与向量 A1 B→ 的夹角是 60°;
④正方体ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 的体积为| AB→ ² AA1→ ² AD → |.其中正确命题的序号是___①②_____. 8、.如图,已知 M 、 N 分别为四面体 ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心,且 G 为 AM 上且 GM ∶ GA =1∶3.求证:

 B 、 G 、 N 三点共线. .证明 设 AB→ = a , AC → = b , AD → = c , 则 BG→ = BA → + AG → = BA → + 34 AM→

 =- a + 14 ( a + b + c )=-34 a +14 b +14 c , BN→ = BA → + AN → = BA → + 13 ( AC→ + AD → ) =- a + 13 b +13 c =43 BG→ . ∴ BN→ ∥ BG → ,即B 、 G 、 N 三点共线.

  C 组 1

 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,M、N 分别是棱 AA 1 和 BB 1 的中点,则 CM 与 D 1 N 夹角的正弦值为

 (

 )

  答案:

 B 解析:以 DA、DC、DD 1 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系,设正方体边长为 2,则 M(2,0,1)、N(2,2,1)、C(0,2,0)、D 1 (0,0,2),∴ =(2,-2,2), ∴CM 与 D 1 N 所成角的正弦值为 ,∴选 B 2

 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,O 是底面 ABCD 的中点,M、N 分别是棱 DD1、D1C1 的中点,则直线 OM

  A.是 AC 和 MN 的公垂线 B.垂直于 AC,但不垂直于 MN C.垂直于 MN,但不垂直于 AC D.与 AC、MN 都不垂直 答案:

 B

 解析:以 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 D(0,0,0)、D 1 ( 0,0,2a )

 、 M ( 0,0,a )

 A(2a,0,0) 、 C ( 0,2a,0 )

 、 O(a,a,0) 、 N(0,a,2a), ∴∴OM⊥AC,OM 与 MN不垂直. ∴选 B. 3、.设 OABC 为四面体, G 1 是△ ABC 的重心, G 是 OG 1 上一点,且 OG =3 GG 1 .若 OG→ = xOA → + yOB → +zOC→ ,则( x , y , z )为_____14 ,14 ,14_________. 4.已知 O (0,0,0), A (1,2,3), B (2,1,2), P (1,1,2),点 Q 在直线 OP 上运动,当 QA ² QB取最小值时,点 Q 的坐标是________. 解析:由题意,设 OQ = λ OP ,即 OQ =( λ , λ ,2 λ ), 则 QA =(1- λ ,2- λ ,3-2 λ ), QB =(2- λ ,1- λ ,2-2 λ ), ∴ QA ² QB =(1- λ )(2- λ )+(2- λ )(1- λ )+(3-2 λ )(2-2 λ ) =6 λ2 -16 λ +10=6λ - 432 - 23 ,当λ = 43 时有最小值,此时Q 点坐标为  43 ,43 ,83. 答案:

  43 ,43 ,83 5.已知 a =(cos θ ,1,sin θ ), b =(sin θ ,1,cos θ ),则向量 a + b 与 a - b 的夹角32. 592.55 4.91. D C B ACM,91| | | || |, cos ), 1 , 2 , 2 (111 1    N D CMN D CMN D CM N D95 41, , DD DC DA, 0 , 0 ), 0 , 2 , 2 ( ), , , 0 ( ), , , (2             a OM MN AC OM a a AC a a MN a a a OM

 是________. 解析:∵( a + b )²( a - b )= a2 - b 2 =| a | 2 -| b | 2

 =(cos2 θ +1+sin 2 θ )-(sin 2 θ +1+cos 2 θ )=0, ∴( a + b )⊥( a - b ),即向量 a + b 与 a - b 的夹角为 90°. [来源:Zxxk.Com]

 答案:90° 6.已知向量 a =(1,-3,2), b =(-2,1,1),点 A (-3,-1,4), B (-2,-2,2). (1)求|2 a + b |;

(2)在直线 AB 上,是否存在一定点 E ,使得 OE ⊥ b ?( O 为原点). 解:(1)2 a + b =(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5), 故|2 a + b |= 02 +-2 +5 2 =52. (2) OE = OA + AE = OA + t AB

 =(-3,-1,4)+ t (1,-1,-2) =(-3+ t ,-1- t, 4-2 t ), 若 OE ⊥ b ,则 OE ² b =0, 所以-2(-3+ t )+(-1- t )+(4-2 t )=0,解得 t = 95 , 因此存在点 E ,使得 OE ⊥ b , 此时 E 点坐标为  - 65 ,-145, 25. 7、.如图所示,在平行六面体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中,设1AA = a , AB = b , AD = c , M 、 N 、P 分别是 AA 1 、 BC 、 C 1 D 1 的中点,试用 a , b , c 表示以下各向量:

 (1) AP ;

(2)1AN ;

(3) MP +1NC . 解:(1)∵ P 是 C 1 D 1 的中点, ∴ AP =1AA +1 1AD +1DP

 = a + AD + 121 1DC

 = a + c + 12 b . (2)∵ N 是 BC 的中点, ∴1AN =1AA + AB + BN

  =- a + b + 12BC

 =- a + b + 12AD =- a + b + 12 c . (3)∵ M 是 AA 1 的中点, ∴ MP = MA + AP = 121AA + AP

 =- 12 a +( a + c +12 b )=12 a +12 b + c . 又1NC = NC +1CC = 12BC +1AA

 = 12AD +1AA = 12 c + a ,∴MP +1NC

 =( 12 a +12 b + c )+( a +12 c ) = 32 a +12 b +32 c . 8、如图所示,在长方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中,已知 AB =4, AD =3, AA 1 =2. E 、 F 分别是线段 AB 、BC 上的点,且 EB = BF =1.求直线 EC 1 与 FD 1 所成的角的余弦值.

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